Для доказательства данного тождества мы воспользуемся тригонометрическими формулами и преобразованиями.
Имеем:Sin^2(x) = 1 - Cos^2(x) (1)Cos^2(x) = 1 - Sin^2(x) (2)
Теперь разложим косинус и синус углов 2x и 4x:Cos(2x) = Cos^2(x) - Sin^2(x) = 2Cos^2(x) - 1 (3)Sin(2x) = 2Sin(x)Cos(x) = 2Sin(x)(1 - Sin^2(x)) = 2Sin(x) - 2Sin^3(x) (4)Cos(4x) = Cos^2(2x) - Sin^2(2x) = (2Cos^2(2x) - 1) - (2Sin^2(2x)) = (2(2Cos^2(x) - 1)^2 - 1) - 2(2Sin(x) - 2Sin^3(x))^2 = 8Cos^4(x) - 8Cos^2(x) + 1 - 8Sin^4(x) + 16Sin^2(x) - 8Sin^4(x) = 8(Cos^4(x) - 2Cos^2(x) + 2Sin^2(x) - Sin^4(x)) = 8(1 - 2Cos^2(x) + 2(1 - Cos^2(x)) - (1 - Cos^2(x)) = 8(3 - 2(1 + Cos^2(x))) = 16(1 - Cos^2(x))
Sin(4x) = 4Sin(2x)Cos(2x) = 4(2Sin(x) - 2Sin^3(x))(2Cos^2(x) - 1) = 8Sin(x)Cos^2(x) - 4Sin^3(x)Cos^2(x) - 8Sin(x) + 4Sin^3(x) = 4Sin(x)(2Cos^2(x) - 1) - 4Sin(x)(1 - Cos^2(x)) = 8Sin(x) - 4Sin(2x)
Теперь подставим выражения для Sin(4x), Cos(4x), Sin(2x), Cos(2x) в исходное тождество и преобразуем его:Sin(4x) + Cos(4x) + 2Sin(2x)Cos(2x) =(8Sin(x) - 4Sin(2x)) + 16(1 - Cos^2(x)) + 2(2Sin(x) - 2Sin^3(x))(2Cos^2(x) - 1) =8Sin(x) - 4(2Sin(x) - 2Sin^3(x)) + 16 - 16Cos^2(x) + 8Sin(x)(2Cos^2(x) - 1) - 4Sin(2x)(2Cos^2(x) - 1)= 8Sin(x) - 8Sin(x) + 8Sin^3(x) + 16 - 16Cos^2(x) + 8Sin(x)(2Cos^2(x) - 1) - 8(2Sin^2(x)(2Cos^2(x) - 1)) =16 - 16Cos^2(x) + 8Sin(x)(2Cos^2(x) - 1) - 8(2 - 2Cos^2(x)) =16 - 16Cos^2(x) + 16Sin(x)Cos^2(x) - 8Sin(x) - 16 + 16Cos^2(x) =
Таким образом, мы смогли доказать тождество Sin(4x) + Cos(4x) + 2Sin(2x)Cos(2x) = 1.
Для доказательства данного тождества мы воспользуемся тригонометрическими формулами и преобразованиями.
Имеем:
Sin^2(x) = 1 - Cos^2(x) (1)
Cos^2(x) = 1 - Sin^2(x) (2)
Теперь разложим косинус и синус углов 2x и 4x:
Cos(2x) = Cos^2(x) - Sin^2(x) = 2Cos^2(x) - 1 (3)
Sin(2x) = 2Sin(x)Cos(x) = 2Sin(x)(1 - Sin^2(x)) = 2Sin(x) - 2Sin^3(x) (4)
Cos(4x) = Cos^2(2x) - Sin^2(2x) = (2Cos^2(2x) - 1) - (2Sin^2(2x)) = (2(2Cos^2(x) - 1)^2 - 1) - 2(2Sin(x) - 2Sin^3(x))^2 = 8Cos^4(x) - 8Cos^2(x) + 1 - 8Sin^4(x) + 16Sin^2(x) - 8Sin^4(x) = 8(Cos^4(x) - 2Cos^2(x) + 2Sin^2(x) - Sin^4(x)) = 8(1 - 2Cos^2(x) + 2(1 - Cos^2(x)) - (1 - Cos^2(x)) = 8(3 - 2(1 + Cos^2(x))) = 16(1 - Cos^2(x))
Sin(4x) = 4Sin(2x)Cos(2x) = 4(2Sin(x) - 2Sin^3(x))(2Cos^2(x) - 1) = 8Sin(x)Cos^2(x) - 4Sin^3(x)Cos^2(x) - 8Sin(x) + 4Sin^3(x) = 4Sin(x)(2Cos^2(x) - 1) - 4Sin(x)(1 - Cos^2(x)) = 8Sin(x) - 4Sin(2x)
Теперь подставим выражения для Sin(4x), Cos(4x), Sin(2x), Cos(2x) в исходное тождество и преобразуем его:
8Sin(x) = - Sin(2x)Sin(4x) + Cos(4x) + 2Sin(2x)Cos(2x) =
(8Sin(x) - 4Sin(2x)) + 16(1 - Cos^2(x)) + 2(2Sin(x) - 2Sin^3(x))(2Cos^2(x) - 1) =
8Sin(x) - 4(2Sin(x) - 2Sin^3(x)) + 16 - 16Cos^2(x) + 8Sin(x)(2Cos^2(x) - 1) - 4Sin(2x)(2Cos^2(x) - 1)=
8Sin(x) - 8Sin(x) + 8Sin^3(x) + 16 - 16Cos^2(x) + 8Sin(x)(2Cos^2(x) - 1) - 8(2Sin^2(x)(2Cos^2(x) - 1)) =
16 - 16Cos^2(x) + 8Sin(x)(2Cos^2(x) - 1) - 8(2 - 2Cos^2(x)) =
16 - 16Cos^2(x) + 16Sin(x)Cos^2(x) - 8Sin(x) - 16 + 16Cos^2(x) =
Таким образом, мы смогли доказать тождество Sin(4x) + Cos(4x) + 2Sin(2x)Cos(2x) = 1.