Найдите промежутки возрастания и убывания функции f (x)=2x+8/x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции f(x)=2x+8/x нужно найти ее производную и исследовать ее знаки.

Сначала найдем производную этой функции f'(x):

f'(x) = d/dx (2x + 8/x) = 2 - 8/x^2.

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

2 - 8/x^2 = 0
2 = 8/x^2
x^2 = 4
x = ±2.

Точки экстремума: x = -2, x = 2.

Теперь проведем исследование знаков производной на интервалах:

Для x < -2
f'(x) = 2 - 8/(-2)^2 = 2 - 8/4 = 2 - 2 = 0
Значит, на этом интервале производная равна 0.

Для -2 < x < 2
f'(-1) = 2 - 8/(-1)^2 = 2 - 8 = -6
f'(0) = 2 - 8/0 = ∞
f'(1) = 2 - 8/1 = 2 - 8 = -6
На данном интервале производная отрицательна.

Для x > 2
f'(x) = 2 - 8/2^2 = 2 - 8/4 = 2 - 2 = 0
На этом интервале производная равна 0.

Исходя из этого, можем сделать выводы:

Таким образом, промежутки возрастания функции f(x)=2x+8/x: (-∞, -2) и (2, +∞)
промежутки убывания функции f(x)=2x+8/x: (-2, 2).