Найти частное решение дифференциального уравнения
[tex]x^{2} \frac{dy}{dx}-2xy=3, y(1)=-1[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных.

Рассмотрим уравнение
[tex]x^{2} \frac{dy}{dx} - 2xy = 3[/tex]

Разделим обе части уравнения на x^2
[tex]\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x} = \frac{3}{x^{2}}[/tex]

Теперь можем записать уравнение в виде
[tex]\frac{dy}{dx} - \frac{2y}{x} = \frac{3}{x^{2}}[/tex]

Теперь решаем линейное дифференциальное уравнение, применив метод интегрирующего множителя
Интегрирующим множителем для уравнения вида dy/dx + P(x)y = Q(x) является exp(∫P(x)dx)
В данном случае P(x) = -2/x, поэтому интегрирующий множитель равен exp(∫(-2/x)dx) = exp(-2ln|x|) = exp(ln1/x^2) = 1/x^2.

Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель
[tex]\frac{1}{x^{2}} \frac{dy}{dx} - \frac{2}{x^{3}}y = \frac{3}{x^{4}}[/tex]

Интегрируем обе части уравнения
[tex]\int \frac{1}{x^{2}} \frac{dy}{dx}dx - \int \frac{2}{x^{3}}ydx = \int \frac{3}{x^{4}}dx[/tex
[tex]\frac{y}{x^{2}} + \frac{2y}{x} = -\frac{3}{3x^{3}} + C[/tex
[tex]\frac{y}{x^{2}} + \frac{2y}{x} = -\frac{1}{x^{3}} + C[/tex]

Для нахождения константы С, используем начальное условие y(1)=-1
[tex]-1 = \frac{1}{1^{2}} + \frac{2(-1)}{1} - 1 + C[/tex
[tex]-1 = 1 - 2 - 1 + C[/tex
[tex]-1 = -2 + C[/tex
[tex]C = 1[/tex]

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения
[tex]\frac{y}{x^{2}} + \frac{2y}{x} = -\frac{1}{x^{3}} + 1[/tex]