Найдите наименьшее значение выражения: 4сtg^2x+16ctgx+cos^2y+4cosy

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наименьшего значения данного выражения, нужно найти экстремум функции.

Выражение: 4ctg^2x + 16ctgx + cos^2y + 4cosy

Производная по x:
d/dx(4ctg^2x) = -8ctgxcos^2x
d/dx(16ctgx) = 16ctg^2x
d/dx(cos^2y) = 0
d/dx(4cosy) = 0

Уравнение на экстремум:
-8ctgxcos^2x + 16ctg^2x = 0
-8ctg^2xcos^2x + 16ctg^2x = 0
8ctg^2x(ctg^2x - cos^2x) = 0
ctg^2x = cos^2x
cos^2x = 1/(1 + ctg^2x)
cos^2x = 1/(1 + 1/sinx^2)

Таким образом, минимальное значение у данной функции будет при cos^2x = 1 (когда sinx = 0). Подставим это обратно в исходное выражение:

40 + 160 + cos^2y + 4cosy = cos^2y + 4cosy

Таким образом, наименьшее значение выражения 4сtg^2x+16ctgx+cos^2y+4cosy = 1+4 = 5.

Ответ: 5.