Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке [-3;7]
f(x)= (x+3)/([tex]x^{2}[/tex]+7) . Если можно более подробно. Заранее спасибо.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем производную функции f(x):

f'(x) = [(x^2 + 7) 1 - (x+3) 2x] / (x^2 + 7)^2
f'(x) = (x^2 + 7 - 2x^2 - 6x) / (x^2 + 7)^2
f'(x) = (-x^2 - 6x + 7) / (x^2 + 7)^2

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

-x^2 - 6x + 7 = 0
x^2 + 6x - 7 = 0
(x + 7)(x - 1) = 0

x1 = -7, x2 = 1

Проверим значения производной в окрестности найденных корней:

При x = -7: f'(-7) = (-(-7)^2 - 6(-7) + 7) / ((-7)^2 + 7)^2 = 0
При x = 1: f'(1) = (-1^2 - 61 + 7) / (1^2 + 7)^2 = 0

Таким образом, функция f(x) имеет экстремумы в точках x1 = -7 и x2 = 1.

Теперь найдем значение функции в найденных точках и на концах интервала [-3;7]:

f(-3) = (-3+3)/(3^2+7) = 0/16 = 0
f(-7) = (-7+3)/(7^2+7) = -4/56 = -1/14
f(1) = (1+3)/(1^2+7) = 4/8 = 1/2
f(7) = (7+3)/(7^2+7) = 10/56 = 5/28

Наименьшее значение функции на интервале [-3;7] равно -1/14 и достигается в точке x = -7.
Наибольшее значение функции на интервале [-3;7] равно 1/2 и достигается в точке x = 1.