Задача 5. По определению n! = 1 × 2 × 3 × .... × n. Докажите, что выражение 1008! × 1009! × 2017! × 2018! не является квадратом натурального числа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения рассмотрим выражение 1008! × 1009! × 2017! × 2018!

Заметим, что в этом выражении каждый множитель встречается в двух экземплярах, а значит, число, которому оно равно, является произведением квадратов натуральных чисел.

Теперь предположим, что данное выражение является квадратом натурального числа, то есть существует натуральное число k, для которого выполнено:

1008! × 1009! × 2017! × 2018! = k^2

Посмотрим, какая часть от числа k^2 делится на 2, на 3, на 5 и т.д.:

Каждый из множителей вида 2i и 2i+1 (для i=1,2,...,1008) даёт два множителя 2 в k^2.Каждый из множителей вида 2i и 2i+1 (для i=1009,1010,...,2017) даёт также два множителя 2 в k^2.Каждый из множителей вида 2i и 2i+1 (для i=2018,2019,...,4035) даёт еще два множителя 2 в k^2.

Итак, каждое из чисел 1, 2, ..., 4036 входит хотя бы в один сомножитель k^2. Разложим все эти числа на простые делители и найдем степени простых делителей в числе k^2.

Однако такой способ не может быть успешно применен, так как количество простых чисел до 4035 превышает 1000. Мы приходим к противоречию и невозможности того, что данное выражение является квадратом натурального числа.

Таким образом, выражение 1008! × 1009! × 2017! × 2018! не является квадратом натурального числа.