Доказать, что при любых значениях а верно неравенство
(а - 2) ( а² + а + 4) < a³

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это неравенство аналитически:

Раскроем скобки в левой части неравенства:

(а - 2) ( а² + а + 4) = а³ + а² + 4а - 2а² - 2а - 8 = а³ - а² + 2а - 8

Рассмотрим правую часть неравенства:

а³ = а³

Теперь сравним полученные выражения:

а³ - а² + 2а - 8 < а³

Перенесем все члены в левую часть и объединим подобные:

-а² + 2а - 8 < 0

Упростим неравенство:

-а² + 2а - 8 < 0

Найдем корни квадратного уравнения -а² + 2а - 8 = 0:

D = 2² - 4(-1)(-8) = 4 - 32 = -28

Корней нет, следовательно, дискриминант меньше нуля для всех значений а.

Таким образом, неравенство -а² + 2а - 8 < 0 выполняется для всех значений а.

Следовательно, при любых значениях а верно неравенство (а - 2) ( а² + а + 4) < a³.