Студент знает k вопросов из n вопросов программы. Экзаменатор задает три произвольных вопроса из имеющихся. Найти вероятность того, что студент знает ответы: 1) на все три вопроса, 2) только на два вопроса, 3) только на один вопрос, 4) не знает ответа ни на один из заданных вопросов.
n= 50
k= 35

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся формулой комбинаторики.

1) Вероятность того, что студент знает ответы на все три вопроса:
В этом случае нужно выбрать 3 вопроса из 35, которые студент знает, и 3 вопроса из 50 вопросов вообще.
$$P = \frac{C{35}^3}{C{50}^3} = \frac{6545}{19600} ≈ 0.3341$$

2) Вероятность того, что студент знает ответы только на два вопроса:
Нужно учитывать, что студент должен знать два из трех заданных вопросов и одновременно не знать один вопрос.
Для этого нужно выбрать 2 вопроса из 35 и 1 вопрос из 15, которые он не знает, и 3 вопроса из 50 вопросов вообще.
$$P = \frac{C{35}^2 * C{15}^1}{C_{50}^3} = \frac{2275}{7840} ≈ 0.2900$$

3) Вероятность того, что студент знает ответы только на один вопрос:
Нужно учитывать, что студент должен знать один из трех заданных вопросов и одновременно не знать два вопроса.
Для этого нужно выбрать 1 вопрос из 35 и 2 вопроса из 15, которые он не знает, и 3 вопроса из 50 вопросов вообще.
$$P = \frac{C{35}^1 * C{15}^2}{C_{50}^3} = \frac{1575}{7840} ≈ 0.2008$$

4) Вероятность того, что студент не знает ответа ни на один из заданных вопросов:
В этом случае нужно выбрать 3 вопроса из 15, которые студент не знает, и 3 вопроса из 50 вопросов вообще.
$$P = \frac{C{15}^3}{C{50}^3} = \frac{455}{19600} ≈ 0.0232$$

Итак, вероятность в каждом из четырех случаев составляет около: 1) 0.3341, 2) 0.2900, 3) 0.2008, 4) 0.0232.