Контрольная работа по теме: Делимость чисел 1) найти остаток от деления числа 485638 на 5, не выполняя деления.
2)Найти последнюю цифру числа 3 в степени 57 + 4 в степени 25
3) Доказать, что число 9 в степени 15 - 3 в степени 27 делится на 26
4) Натуральные числа 8n+1 и 5n+2 делятся на натуральное число m не равное 1. Найти m.
5) Доказать, что уравнение 26x+39y=230 не имеет целочисленных решений.
6) Найти целочисленное решение уравнения. а) 5x+3y=4. б) x2=y2+ 21

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Остаток от деления числа 485638 на 5 равен 3, так как остаток от деления числа на 5 равен последней цифре числа.

2) 3^57 = 3^4 3^13 = 81 1594323, а 4^25 = 4 4^24 = 4 16777216. Следовательно, последняя цифра суммы будет равна 1 + 6 = 7.

3) 9^15 = (3^2)^15 = 3^30, 3^27 = 3^3. Тогда 9^15 - 3^27 = 3^(30) - 3^3 = 3^3(3^27 - 1). 3^27 - 1 делится на 3 (так как 3^27 - 1 = (3^9 - 1)(3^18 + 3^9 + 1)), а значит и 9^15 - 3^27 делится на 3, но не делится на 2. Следовательно, число 9^15 - 3^27 делится на 26.

4) Найдем m из уравнения: 8n+1 ≡ 0 (mod m), 5n+2 ≡ 0 (mod m). Заметим, что m не равно 1 (так как 8n+1 и 5n+2 не делятся на 1). Тогда m должно делить (8n+1) (5n+2) - (5n+2) 8 = 40n^2 - 11n - 16. Получаем, что m должно делить 40n^2 - 11n - 16. Решив уравнение 40n^2 - 11n - 16 = 0, получим n = -2/5 или n = 5/8. Подставляя n = -2/5 или n = 5/8, видим, что m не может быть равно 1. Таким образом, m = 9.

5) Уравнение 26x + 39y = 230 можно привести к виду 213x + 313y = 2115. Это уравнение не имеет целочисленных решений, так как число 2115 не делится на 13, следовательно, 26x + 39y = 230 не имеет целочисленных решений.

6)
а) Уравнение 5x + 3y = 4. Посмотрим на уравнение по модулю 5:
3y ≡ 4 (mod 5)
Умножим обе части на -2:
-6y ≡ -8 (mod 5)
y ≡ 3 (mod 5)
Таким образом, y = 5k + 3. Подставим это обратно в уравнение:
5x + 3(5k + 3) = 4
x = -3k - 1
Целочисленные решения: (2, -1), (1, 2), (0, 5), (-1, 8), ...

б) Уравнение x^2 = y^2 + 21. Это уравнение можно переписать в виде следующего:
(x+y)(x-y) = 21
Теперь нам нужно найти все пары натуральных чисел, умножение которых даёт 21. Решениями уравнения будут все целочисленные пары чисел (11,10), (-11,-10), (7, 3), (-7, -3), (4, 3), (-4, -3), (3, 2), (-3, -2), (21,0), (-21, 0).