Доказать, что
1) 16^20+2^76+8^26 делится на 21
2) 16^20+2^76+8^26 делится на 14
3) `13875^4-6800^7 делится на 25

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Заметим, что 16^20 делится на 21, так как 16 = 1 (mod 21). Также 2^76 делится на 21, так как 2^3 = 8 = -1 (mod 21) и 76 = 3*25+1. Наконец, 8^26 также делится на 21, так как 8 = -1 (mod 21) и 26 = 25+1. Значит, 16^20+2^76+8^26 - сумма трех чисел, каждое из которых делится на 21, следовательно, их сумма также делится на 21.

2) Заметим, что 16^20 делится на 14, так как 16 = 2 (mod 14). Также 2^76 делится на 14, так как 2^2 = 4 = -1 (mod 14) и 76 = 275+6. Наконец, 8^26 также делится на 14, так как 8 = 1 (mod 14) и 26 = 2*13. Значит, 16^20+2^76+8^26 - сумма трех чисел, каждое из которых делится на 14, следовательно, их сумма также делится на 14.

3) Посмотрим на разность этих двух чисел: 13875^4 - 6800^7. Обозначим x = 13875^4. Тогда x = (13875^2)^2 = (52775)^2 = 5^2 2775^2 = 25 (735^2)^2 = 25 7^2 3^2 5^4 = 25 7 3^2 5^4 7. Значит, x делится на 25.

Аналогично, обозначим y = 6800^7. Тогда y = (6800^3)^2 6800 = (8850)^2 8 = 8^2 850^2 8 = 64 (1085)^2 8 = 64 10^2 85^4 8 = 25 4 10^2 5^2 17^4 8 = 25 4 10^2 5^2 1 8 = 25 4 10^2 5^2 8 = 25 4 5^2 2^2 5^2 8 = 25 4 2^2 2^6 5^4 2^3 = 25 4 2^8 5^4 2^3 = 25 4 256 625 2^3 = 25 4 2 3 25 625 = 25 10^2 3 25 625 = 25^2 3 625 = 25^2 * 1875. Значит, y также делится на 25.

Таким образом, x и y оба делятся на 25, значит их разница x-y также делится на 25.