Доказать,что n(2n-1)(2n+1) кратно 3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это по индукции.

База индукции:
При n = 1 получаем 1 (21 - 1) (21 + 1) = 1 (2-1) (2+1) = 1 1 3 = 3, что является кратным 3.

Предположение индукции:
Пусть n(2n-1)(2n+1) делится на 3 при любом n = k, где k - натуральное число.

Индукционный переход:
Докажем для n = k + 1.
n(2n-1)(2n+1) = (k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1)+1) = (k+1)(2k+2-1)(2k+2+1) = (k+1)(2k+1)(2k+3)

Разложим на множители (k + 1):
(k + 1)(2k + 1)(2k + 3) = (k + 1)(2k + 1)(2(k + 1) + 1) = n(2n - 1)(2n + 1)

Из предположения индукции, известно, что n(2n - 1)(2n + 1) делится на 3, так как n = k исходно делится на 3. Значит, и при n = k + 1 n(2n-1)(2n+1) также кратно 3.

Таким образом, мы доказали, что n(2n-1)(2n+1) делится на 3 для любого натурального числа n.