Задача 14 ЕГЭ профильного точка О пересечения диагоналей параллелограма ABCD является основанием высоты SO пирамиды SABCD. Плоскость, параллельная плоскости ABC пересекает ребра AS, BS, CS, и DS в точках A1, B1, C1 и D1 соответственно.
A) докажите, что треугольник A1B1O= треугольнику C1, D1, O
Б) Найдите объем пирамиды AA1B1BO, если AS=15, BS=13, AB=6, SO=12 и плоскость A1B1C1 делит SO в отношении 3:2, считая от вершины - S

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

A)
Для начала заметим, что треугольники A1B1O и C1D1O равны по построению (они подобны как проекции пирамиды SABCD на плоскость параллельную плоскости ABC).

Теперь обратим внимание на треугольники A1B1C1 и A1B1D1. Они равны по двум сторонам и заключенному углу между ними (соответственно равенство углов B1A1O и C1D1O). Поэтому эти треугольники подобны.

Из подобия треугольников A1B1C1 и A1B1D1 следует, что соответствующие углы равны: угол A1B1C1 равен углу A1B1D1, а угол B1A1C1 равен углу D1B1C1.

Таким образом, треугольники A1B1O и C1D1O также равны, поскольку у них равны соответствующие углы, и у них одинаковые стороны (так как одна из сторон треугольника A1B1O и C1D1O лежит на ребре SO).

Б)

Сначала найдем высоту пирамиды SABCD.

Так как пересечение диагоналей параллелограма является основанием высоты пирамиды, то у нас получается треугольник прямоугольный SOD, где SO = 12 (дано), OD = CD/2 = AB/2 = 6/2 = 3 (по свойствам параллелограмма), следовательно, SD = sqrt(SO^2 - OD^2) = sqrt(12^2 - 3^2) = sqrt(144 - 9) = sqrt(135) = 3*sqrt(15).

Теперь нужно найти высоту A1B1, которую дает плоскость A1B1C1. По условию, плоскость делит SO в отношении 3:2, следовательно, AS = 3x, SO - AS = 2x, где x - некоторое число. По теореме Талла в треугольнике AOS: AS / A1S = SO / AOS, отсюда находим A1S = (ASSO) / (SO + AS) = (3x 12) / (12 + 3x) = 36x / (12 + 3x).

Теперь найдем объем пирамиды AA1B1BO. Объем правильной тетраэдра равен 1/3 S_осн h, где S_осн - площадь основания, h - высота пирамиды. Рассмотрим основание тетраэдра - треугольник A1B1O. Так как треугольник A1B1O подобен треугольнику ABC (который равен 12, поскольку два его угла прямые, и A1B1 = 12), то AB = 12 => S_осн = 1/2 A1B1 h = 1/2 12 3 * sqrt(15) = 18sqrt(15).

Теперь находим объем: V = 1/3 S_осн h = 1/3 18sqrt(15) 3 sqrt(15) = 18sqrt(15) 5 sqrt(15) = 90 15 = 1350.

Итак, объем пирамиды AA1B1BO равен 1350.