Сумма трёх наибольших делителей числа натурального n в десять раз больше суммы трёх наименьших его натуральных делителей Найдите все значения n

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть n = p^k, где p - простое число. Тогда делители числа n будут 1, p, p^2, ..., p^k. Сумма трех наименьших делителей будет равна 1 + p + p^2 = 1 + p(1 + p). Сумма трех наибольших делителей будет равна p^(k-2) + p^(k-1) + p^k = p^(k-2)(1 + p + p^2) = p^(k-2)(1 + p(1 + p)).

Условие задачи можно записать в виде уравнения: p^(k-2)(1 + p(1 + p)) + p^(k-2)(1 + p(1 + p)) + p^(k-2)(1 + p(1 + p)) = 10(1 + p + p^2).

После сокращения общих множителей получаем: 3(1 + p + p^2) = 10(1 + p + p^2).

Раскрываем скобки и получаем уравнение: 3 + 3p + 3p^2 = 10 + 10p + 10p^2.

Приводим подобные и получаем уравнение 7 + 7p + 7p^2 = 0.

Решаем это уравнение и получаем три корня: p = -1, p = -1/2, p = 0.

Поскольку p - простое число, обратим внимание на то, что -1 и -1/2 не являются простыми числами. Таким образом, рассматриваем только p = 0.

Подставим p = 0 в исходное уравнение и найдем значение k: 3^(k-2)(1) + 3^(k-1)(1) + 3^k(1) = 10(1 + 0 + 0).

Получаем уравнение: 3^(k-2) + 3^(k-1) + 3^k = 10(1).

Решая это уравнение, получаем k = 2.

Итак, все значения n для которых сумма трех наибольших делителей числа n в десять раз больше суммы трех наименьших его делителей - это числа, представимые в виде n = 3^2 = 9.

Ответ: n = 9.