Доказать что уравнение 21x^2-7y^2=9 не имеет целочисленных решений

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что данное уравнение можно преобразовать к виду:

21x^2 - 7y^2 = 9
3x^2 - y^2 = 3

Теперь предположим, что данное уравнение имеет целочисленные решения. Пусть x и y - целые числа, тогда левая часть уравнения будет являться разностью квадратов:

(3x)^2 - y^2 = 3

Теперь мы можем использовать тождество разности квадратов:

(3x + y)(3x - y) = 3

Уравнение (3x + y)(3x - y) = 3 представляет собой произведение двух чисел, сумма которых равна 3. Однако нельзя представить число 3 в виде произведения двух целых чисел (кроме тривиальных случаев), так как у числа 3 всего два делителя: 1 и 3.

Следовательно, уравнение 21x^2 - 7y^2 = 9 не имеет целочисленных решений.