Олимпиадная задача за 2017 год.
[tex]cos(10^{n})[/tex] при n=0, 1, 2,..., 2016, 2017.
Вопрос: Сколько отрицательных чисел будет в данной последовательности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим значения [tex]\cos(10^{n})[/tex] при различных значениях n:

При n=0, [tex]\cos(10^{0})=\cos(1)[/tex]

При n=1, [tex]\cos(10^{1})=\cos(10)[/tex]

При n=2, [tex]\cos(10^{2})=\cos(100)[/tex]

...

При n=2017, [tex]\cos(10^{2017})=\cos(10^{2017})[/tex]

С увеличением n значение аргумента косинуса увеличивается, и косинус периодически повторяется с периодом 2пи. Поскольку значение косинуса на отрезке от 0 до 180 градусов отрицательно, то при значениях n, кратных 2, косинус будет отрицательным.

Из условия нам дано, что n изменяется от 0 до 2017, поэтому все значения косинусов с n=2k, где k=0, 1, 2,..., 1008 будут отрицательными. Таким образом, в данной последовательности будет 1009 отрицательных чисел.