Пусть a, b, c – натуральные числа, большие 1. Кроме того, s=a−−√+b√−c√>0 Докажите, что s>32cc√

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что s больше нуля, так как a, b, c больше 1, а значит каждый корень в выражении a−−√+b√−c√ положителен.

Далее преобразуем выражение s=a−−√+b√−c√ следующим образом:

s=a−−√+b√−c√=a−c√+b√−c√=a+(b−1)c√

Теперь нам нужно доказать, что a+(b-1)c√ больше чем 32c/c√. Для этого возведем обе части неравенства в квадрат:

(a+(b-1)c√)^2 > (32c/c√)^2

a^2 + 2ab(b-1)c√ + (b-1)^2c^2 > 32^2c^2

a^2 + 2ab(b-1)c√ + (b-1)^2c^2 > 1024c^2

Теперь докажем, что a^2 + 2ab(b-1)c√ + (b-1)^2c^2 = a^2 + b^2c^2 - 2abc√ + c^2 > 1024c^2

a^2 + b^2c^2 - 2abc√ + c^2 > 1024c^2

a^2 + b^2c^2 + c^2 > 1026c^2

Из этого неравенства видно, что нам нужно доказать, что a^2 + b^2c^2 + c^2 > 1026c^2. Применим неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим:

(a^2 + b^2c^2 + c^2)/3 > ((a^2 + b^2c^2 + c^2)^2/3)^0.5

(a^2 + b^2c^2 + c^2)/3 > ((1026c^2)^2/3)^0.5

(a^2 + b^2c^2 + c^2)/3 > (3429c^2)^0.5

a^2 + b^2c^2 + c^2 > 10287c^2

Таким образом, доказано, что a+(b-1)c√ больше чем 32c/c√ и, следовательно, s больше чем 32c/c√.