Каждый из драгоценных камней весит 1/n грамма, где n – натуральное число (может быть разное для разных камней). Все вместе они весят не больше 99.5 грамма . Докажите, что их можно разделить на 100 кучек, каждая из которых весит не больше 1 грамма.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте объединим все камни в одну кучку. Поскольку все вместе они весят не больше 99.5 грамма, то их общий вес можно представить в виде суммы 1/n1 + 1/n2 + ... + 1/nk, где n1, n2, ..., nk - веса отдельных камней.

Теперь давайте разделим все камни на 100 кучек следующим образом: в первую кучку положим все камни с весами 1/n, во вторую все камни с весами 1/(n+1) и так далее, в стошестую кучку положим все камни с весами 1/(n+99).

Тогда общий вес каждой кучки будет не превышать 1 грамм, так как сумма 1/n + 1/(n+1) + ... + 1/(n+99) < 1 при любом натуральном n.

Таким образом, мы разделили все драгоценные камни на 100 кучек, каждая из которых весит не больше 1 грамма.