Вычислить:
[tex]\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{101} }+ \frac{1}{\sqrt{101}+\sqrt{102} }+...+ \frac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121} }[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала преобразуем каждый из знаменателей в равном суммы квадратов. Для первой дроби это будет:

[tex]\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{101} } = \frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{101} } \cdot \frac{\sqrt{101}-\sqrt{100}}{\sqrt{101}-\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{101}-\sqrt{100}}{101-100} = \sqrt{101}-\sqrt{100}[/tex]

Продолжая эту логику, получим:

[tex]\sqrt{101}-\sqrt{100} + \sqrt{102}-\sqrt{101} + ... + \sqrt{121}-\sqrt{120}[/tex]

Заметим, что все промежуточные корни взаимно уничтожаются, и остаются только крайние:

[tex]\sqrt{121}-\sqrt{100} = 11-10 = 1[/tex]

Таким образом, сумма данных дробей равна 1.