В сундуке у Хагрида хранится 155 шариков десяти различных цветов. Некоторые шарики волшебные и могут в разные моменты оказаться любого из этих десяти цветов (но меняют цвет только тогда, когда сундук закрыт и заперт). Однажды Хагрид открыл сундук, пересчитал шарики каждого цвета (каждого цвета оказалось разное количество шариков), выписал список цветов в порядке убывания количества шариков, закрыл и запер сундук. На следующий день Хагрид проделал то же самое и обнаружил, что в его втором списке цвета идут в точности в обратном порядке (по отношению к первому списку). Какое наименьшее количество волшебных шариков может быть в сундуке?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть количество шариков каждого цвета в первом списке равно a, b, c, ..., j (где a > b > c > ... > j), а количество шариков каждого цвета во втором списке равно j, i, h, ..., a (где j > i > h > ... > a).

Таким образом, сумма всех шариков в сундуке равна:

a + b + c + ... + j = 155

и

j + i + h + ... + a = 155

Вычитая одно равенство из другого, получаем:

2(j - a) + (i - b) + (h - c) + ... = 0

Так как j > a, то j - a > 0. Поэтому (i - b) + (h - c) + ... должно быть равно 0.

Это означает, что количество волшебных шариков должно быть таким, чтобы разницы между количествами шариков каждого цвета в двух списках проворачивались в сумме.

Попробуем разные варианты:

Если количество волшебных шариков равно 0, то все шарики каждого цвета одинакового количества в обоих списках. Но это противоречит условиям задачи, где количество шариков каждого цвета различается.

Если количество волшебных шариков равно 1, то можно найти такое распределение, что сумма разниц между количествами шариков каждого цвета будет равна 0.

Таким образом, наименьшее количество волшебных шариков в сундуке равно 1.