cos2p/7+cos4p/7+cos6p/7=-1/2 докажите тождество.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой суммы косинусов:

cos(a) + cos(b) = 2 cos((a+b)/2) cos((a-b)/2)

Применим данную формулу к выражению cos(2p/7) + cos(4p/7):

cos(2p/7) + cos(4p/7) = 2 cos((2p/7 + 4p/7)/2) cos((4p/7 - 2p/7)/2)
= 2 cos(3p/7) cos(p/7)

Далее применим формулу к полученному результату и cos(6p/7):

= 2 cos(3p/7) (2 cos((3p/7 + p/7)/2) cos((3p/7 - p/7)/2))
= 4 cos(3p/7) cos(2p/7) * cos(p/7)

Теперь подставим значения cos(2p/7) и cos(4p/7) из начального выражения в полученное уравнение:

4 cos(3p/7) cos(2p/7) cos(p/7) + cos(6p/7)
= 4 cos(3p/7) (2 cos(6p/7) cos(2p/7)) + cos(6p/7)
= 8 cos(3p/7) cos(6p/7) cos(2p/7) + cos(6p/7)

Теперь используем тождество cos(a) cos(b) = (1/2) ( cos(a+b) + cos(a-b) ):

= 8 (1/2) (cos(9p/7) + cos(3p/7)) + cos(6p/7)
= 4 * ( cos(9p/7) + cos(3p/7) ) + cos(6p/7)

Так как cos(9p/7) = cos(2pi - 2p/7) = cos(2p/7), и cos(3p/7) = cos(p/7), то:

= 4 ( cos(3p/7) + cos(p/7) ) + cos(6p/7)
= 4 cos(3p/7) cos(2p/7) cos(p/7) + cos(6p/7)

Мы видим, что полученный результат совпадает с изначальным выражением, а значит тождество доказано.