Найти предел последовательности Limx->1 (3/(1-x^3) - 2/(1-x^2))

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения предела данной последовательности при x -> 1, необходимо проверить, является ли функция в знаменателе обоих дробей плотной функцией относительно 1.

Сначала рассмотрим пределы каждой дроби отдельно:

1) Limx->1 (3/(1-x^3))
Для вычисления данного предела, приведем дробь к общему знаменателю и упростим:
3/(1-x^3) = 3/( (1-x)(1+x+x^2) )
= 3/( (1-x)(1+x)(1+x^2) )
= 3/((1-x)(1+x)( (1-x^2) + x^2 ))
= 3/((1-x)(1+x)( 1-x^2) + x^2 ))
= 3/((1-x)(1+x)(1-x)(1+x) + x^2))
= 3/((1-x)^2(1+x)^2 + x^2))

Теперь вычислим предел при x -> 1:
3/(1-x)^2(1+x)^2 + x^2)) = 3/(0^2 * 2^2 + 1)
= 3/1 = 3

2) Limx->1 (2/(1-x^2))
Для вычисления данного предела, также приведем дробь к общему знаменателю:
2/(1-x^2) = 2/( (1-x)(1+x) )
= 2/( (1-x)^2 - x^2 ))
= 2/((1-x)(1+x) + x^2)
= 2/((1-x)^2(1+x))

Теперь вычислим предел при x -> 1:
2/(1-x)^2(1+x) = 2/(0^2 * 2) = 2

Итак, получили, что предел первой дроби при x -> 1 равен 3, а предел второй дроби равен 2. Теперь мы можем вычислить итоговый предел последовательности:

Limx->1 (3/(1-x^3) - 2/(1-x^2)) = Limx->1 (3) - Limx->1 (2) = 3 - 2 = 1

Итак, предел данной последовательности при x -> 1 равен 1.