В каком отношении, считая от вершины, диагональ куба делится точкой пересечения с прямой? В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки K и М - середины сторон AD и AB соответственно, точки N и P - центры граней BB₁C₁C и DD₁C₁C соответственно.
а) Докажите, что Q - точка пересечения отрезков KN и MP, принадлежит плоскости AA₁C₁.
б) В каком отношении, считая от вершины A, диагональ AC₁ куба делится точкой пересечения с прямой CQ?
а) доказал, это несложно, но вот б) никак победить не могу...

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения второй части задачи, обратимся к плоскости АА₁С₁, проходящей через вершины А, А₁ и С₁ куба. Так как точка Q лежит в этой плоскости (по первой части задачи), то диагональ AC₁ куба будет пересекать прямую CQ в точке R, которая также лежит в плоскости АА₁С₁.

Теперь обозначим точку пересечения диагонали AC₁ с прямой CQ за R. Тогда отношение, в котором диагональ AC₁ куба делится точкой R, можно найти, используя теорему о параллельных прямых: отрезок AR делит диагональ AC₁ в отношении, равном отношению длин отрезков MR и MP (потому что прямые MR и NP параллельны в плоскости АА₁С₁, и точка Q является их пересечением).

Таким образом, отношение, в котором диагональ AC₁ куба делится точкой пересечения с прямой CQ, равно отношению длин отрезков MR и MP.