Математика. Олимпиада школьников В летнюю школу приехало 120 школьников, причём какие то дети были знакомы друг с другом, а какие то нет. Известно, что любых шестерых школьников можно расселить в две трехместные комнаты так, чтобы в каждой комнате оказались только знакомые между собой дети. Какое наименьшее количество пар знакомых между собой школьников могло приехать в школу

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

?

Для решения этой задачи можно воспользоваться методом графов. Представим каждого школьника в виде вершины графа, а знакомство между школьниками - ребром графа. Таким образом, в нашем графе будет 120 вершин (школьников) и некоторое количество рёбер (знакомства).

Поскольку любые шесть школьников можно расселить в две трёхместные комнаты так, чтобы в каждой комнате оказались только знакомые между собой дети, значит, в каждой шести вершинной клике (полный подграф из шести вершин) все школьники должны быть знакомы друг с другом. Поэтому, в нашем графе количество вершин в каждой клике должно быть не меньше шести.

Наименьшее количество пар знакомых школьников будет достигаться, когда в графе будет наименьшее количество клик из шести вершин. Для этого нам нужно решить задачу на максимальное паросочетание в графе.

Будем добавлять рёбра к нашему графу, пока сможем найти увеличивающий путь от одной вершины к другой, не использовавшейся в текущем паросочетании. Когда этот увеличивающий путь уже не будет найден, мы найдём максимальное паросочетание. Результатом этого будет минимальное количество рёбер, которое нужно добавить в исходный граф, чтобы получить максимальное паросочетание.

Таким образом, наименьшее количество пар знакомых между собой школьников, которые могло приехать в школу, будет равно количеству вершин в графе минус размер максимального паросочетания.

Иллюстрация примера графа и нахождение максимального паросочетания:

Изображение графа с вершинами (A, B, C, D, E, F, G).

Паросочетание: {AB, CD, EF} (на текущий момент максимальное)

Увеличивающий путь: A -> B -> E -> F

Новое паросочетание: {AB, CD, EF, AE, BF}

Нет больше увеличивающих путей

Максимальное паросочетание: {AB, CD, EF, AE, BF}

Из этого следует, что в данной ситуации минимальное количество пар знакомых между собой школьников, которые могли приехать в школу, равно 7 (число вершин) - 5 (размер максимального паросочетания) = 2.