Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 7, следующих трех - 56. Чему равен шестой член этой прогрессии?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи нам нужно составить систему уравнений на основе условий задачи.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как а, а знаменатель прогрессии - q.

Тогда первые 3 члена прогрессии будут: а, аq, аq^2
Сумма первых трех членов прогрессии равна 7:
а + аq + аq^2 = 7

Следующие три члена прогрессии будут: аq^3, аq^4, аq^5
Сумма следующих трех членов прогрессии равна 56:
аq^3 + аq^4 + аq^5 = 56

Теперь решим эту систему уравнений. Для этого выразим а из первого уравнения и подставим во второе уравнение:
а = 7/(1 + q + q^2)
7/(1 + q + q^2)q^3 + 7/(1 + q + q^2)q^4 + 7/(1 + q + q^2)*q^5 = 56
7q^3/(1 + q + q^2) + 7q^4/(1 + q + q^2) + 7q^5/(1 + q + q^2) = 56
7(q^3 + q^4 + q^5)/(1 + q + q^2) = 56
7q^3 + 7q^4 + 7q^5 = 56 + 56q + 56q^2
7(q^3 + q^4 + q^5) = 56 + 56q + 56q^2
q^3 + q^4 + q^5 = 8 + 8q + 8q^2

Таким образом, выражение q^3 + q^4 + q^5 = 8 + 8q + 8q^2

Теперь найдем шестой член прогрессии, то есть аq^5:
6-й член прогрессии = аq^5 = 7/(1 + q + q^2)*q^5 = 7q^5/(1 + q + q^2)

Теперь подставим найденное значение q^3 + q^4 + q^5 в выражение для 6-го члена прогрессии:
7q^5/(1 + q + q^2) = 7q^5/(1 + q + q^2) = 7(8 + 8q + 8q^2)/(1 + q + q^2) = 56

Ответ: шестой член геометрической прогрессии равен 56.