Докажите, что при всех значениях переменных значение выражения (x-y)(x-y-6)+9 неотрицательно

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала раскроем скобки в данном выражении:

(x - y)(x - y - 6) + 9 = x^2 - xy - 6x - xy + y^2 + 6y + 9
= x^2 - 2xy - 6x + y^2 + 6y + 9

Теперь преобразуем это выражение:

x^2 - 2xy - 6x + y^2 + 6y + 9 = (x^2 - 2xy + y^2) - 6x + 6y + 9
= (x - y)^2 - 6x + 6y + 9

Теперь заметим, что (x - y)^2 всегда неотрицательно, так как это квадрат разности, а квадрат любого числа неотрицателен. Поэтому (x - y)^2 - 6x + 6y + 9 = (x - y)^2 + 6(y - x) + 9.

Так как (x - y)^2 неотрицательно, а выражение 6(y - x) равно -6(x - y), то (x - y)^2 + 6(y - x) + 9 неотрицательно.

Таким образом, при всех значениях переменных x и y выражение (x - y)(x - y - 6) + 9 неотрицательно.