Докажите, что если a >0, то верно неравенство a^10+3/a^2+4/a>=8

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства неравенства a^10+3/a^2+4/a>=8, воспользуемся неравенством средних для положительных чисел:

Для положительных чисел a, b и c верно неравенство:

(a^m+b^n+c^p)/3 >= (abc)^(m+n+p)/3
где m, n и p - произвольные вещественные числа.

Применяя это неравенство, получаем:

(a^10 + 3/a^2 + 4/a)/3 >= (a^10 3/a^2 4/a)^(1/3) =
= (a^8 + 3 + 4a)/3 >= (12a^(10-2-1))^(1/3) =
= (a^8 + 3 + 4a)/3 >= (12a^7)^(1/3) =
= (a^8 + 3 + 4a)/3 >= 2a

Таким образом, мы получили неравенство (a^8 + 3 + 4a)/3 >= 2a.

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

a^8 + 3 + 4a >= 6a

Перегруппируем слагаемые:

a^8 - 2a + 3 >= 0

Рассмотрим функцию f(a) = a^8 - 2a + 3. Найдем ее минимум:

f'(a) = 8a^7 - 2 = 0
a = (1/4)^(1/7)

f''(a) = 56a^6
f''((1/4)^(1/7)) > 0

Таким образом, при a > 0 функция f(a) имеет минимум и принимает положительные значения, то есть a^8 - 2a + 3 >= 0.

Итак, мы доказали, что a^8 + 3 + 4a >= 6a, а, значит, (a^10 + 3/a^2 + 4/a)/3 >= 2a. Таким образом, a^10 + 3/a^2 + 4/a >= 8.

Неравенство доказано.