Олимпиадное задание по математике Найдите все значения параметра k при котором прямая y=kx не имеет общих точек с графиком функции y=(-2x•x-x+6)/(x+2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы прямая y=kx не имела общих точек с графиком функции y=(-2x^2-x+6)/(x+2), необходимо чтобы уравнение данной функции не имело решений при подстановке y=kx.

Заменим y на kx в уравнении функции:

kx = (-2x^2 - x + 6)/(x + 2)

Умножим обе стороны на (x + 2):

kx(x + 2) = -2x^2 - x + 6

Раскроем скобки:

kx^2 + 2kx = -2x^2 - x + 6

Приведем подобные члены:

(k + 2)x^2 + (2k + 1)x - 6 = 0

Таким образом, получили квадратное уравнение, у которого нет общего решения с прямой y=kx, когда его дискриминант меньше нуля.

Дискриминант квадратного уравнения равен:

D = (2k + 1)^2 - 4(k + 2)(-6)

D = 4k^2 + 4k + 1 - 24k - 48

D = 4k^2 - 20k - 47

Поскольку D < 0, то:

4k^2 - 20k - 47 < 0

Находим корни данного неравенства с помощью дискриминанта:

D = (-20)^2 - 44(-47) = 400 + 752 = 1152

k1,2 = (20 ± √1152) / 8

k1 ≈ 6.06 и k2 ≈ -1.06

Таким образом, прямая y=kx не имеет общих точек с графиком функции при k < -1.06 и k > 6.06.