Тригонометрические уравнения. Сам пример: (soc x)^2+(soc 2x)^2+(soc 3x)^2=3/2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение:

Дано: (cos x)^2 + (cos 2x)^2 + (cos 3x)^2 = 3/2

Используем тригонометрическую формулу квадрата косинуса:

(cos A)^2 = (1 + cos 2A) / 2

(cа x)^2 = (1 + cos 2x) / 2
(cа 2x)^2 = (1 + cos 4x) / 2
(cа 3x)^2 = (1 + cos 6x) / 2

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

(1 + cos 2x) / 2 + (1 + cos 4x) / 2 + (1 + cos 6x) / 2 = 3/2
(1 + cos 2x + 1 + cos 4x + 1 + cos 6x) / 2 = 3/2
(3 + cos 2x + cos 4x + cos 6x) / 2 = 3/2
3 + cos 2x + cos 4x + cos 6x = 3
cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0

Теперь используем формулу двойного угла для косинуса:

cos 2A = 2 cos^2 A - 1
cos 4A = 2 cos^2 2A - 1
cos 6A = 2 cos^2 3A - 1

Подставим в уравнение:

2 cos^2 x - 1 + 2 cos^2 2x - 1 + 2 cos^2 3x - 1 = 0
2(cos^2 x + cos^2 2x + cos^2 3x) - 3 = 0
cos^2 x + cos^2 2x + cos^2 3x = 3/2

Таким образом, решение данного тригонометрического уравнения: cos^2 x + cos^2 2x + cos^2 3x = 3/2.