Пусть p — нечѐтное простое число. Докажите, что для некоторой пары различных натуральных чисел m и n имеет место равенство 2/p = 1/n + 1/m, причем такая пара чисел единственна (с точностью до перестановки n и m).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем, что такие натуральные числа m и n действительно существуют и единственны.
Итак, у нас есть равенство:

2/p = 1/n + 1/m

Преобразуем его:

2/p = (m + n) / (mn)

Умножим обе части на mn*p:

2mn = (m + n)p

2mn = mp + np

mp - 2mn + np = 0

m(p - 2n) + np = 0

m = np / (2n - p)

Так как p — простое число, и p не делит n, а p > 2, то нормера должно делится на p.
Это возможно, только если p|m=pn.
Приравнивая m = pn, получаем:

m = pn

Теперь подставляем m в исходное уравнение:

2/p = 1/n + 1/pn

2/p = (p + n) / (pn)

2pn = p + n

n = (p - 2) / 2

Таким образом, мы получили натуральные числа m и n, удовлетворяющие условиям задачи. Теперь докажем их единственность.

Предположим, что существуют две различные пары чисел (m1, n1) и (m2, n2), которые удовлетворяют условиям задачи. Тогда мы имеем:

2/p = 1/n1 + 1/m1 = 1/n2 + 1/m2

Разность этих двух равенств дает:

1/n1 - 1/n2 = 1/m2 - 1/m1

(n2 - n1) / (n1n2) = (m2 - m1) / (m1m2)

Так как m1, m2, n1, n2 — натуральные числа, обе дроби на правой стороне равны нулю и получаем, что это невозможно. Поэтому решения единственны.