Найти уравнение и длину высоты пирамиды ABCD, опущенной из вершины A на плоскость BCD. Найти угол между стороной AC и плоскостью BCD: A(2; -1; -2);B(1; 2; 1); С(5; 0; -6); D(-10; 9; -7

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения уравнения высоты пирамиды ABCD, опущенной из вершины A на плоскость BCD, найдем векторное произведение векторов AB и AC, чтобы найти направляющий вектор прямой, проходящей через вершину A и перпендикулярной плоскости BCD (или основанию пирамиды).

Вектор AB = B - A = (1-2; 2+1; 1+2) = (-1; 3; 3)
Вектор AC = C - A = (5-2; 0+1; -6+2) = (3; 1; -4)

Найдем векторное произведение AB и AC:
N = AB x AC = i(33 - 1(-4)) - j(-13 - 3(-4)) + k(-11 - 33) = i(9+4) - j(-3 + 12) + k(-1-9) = i13 - j9 - k*10 = (13; -9; -10)

Теперь у нас есть направляющий вектор прямой, проходящей через вершину A и перпендикулярной плоскости BCD. Остается найти уравнение прямой. Зная координаты вершины A (2; -1; -2) и направляющий вектор (13; -9; -10), уравнение прямой имеет вид:

(x-2)/13 = (y+1)/-9 = (z+2)/-10

Длина высоты пирамиды ABCD будет равна расстоянию от вершины A до плоскости BCD по формуле:

h = |(N*(A-D))/|N||, где N - вектор нормали к плоскости BCD, A - координаты вершины A, D - координаты произвольной точки на плоскости BCD

Подставим известные данные:
h = |(13(2+10) - 9(-1-9) - 10*(-2-7))/sqrt(13^2 + (-9)^2 + (-10)^2| = |(26 + 99 + 90)/sqrt(170 + 81 + 100)| = |215/sqrt(351)| ≈ 11.47

Теперь найдем угол между стороной AC и плоскостью BCD. Для этого найдем скалярное произведение векторов AC и N, и затем используем формулу cos(угол) = (AC*N)/(|AC||N|)

AC = (3; 1; -4), N = (13; -9; -10)

ACN = 313 + 1(-9) + (-4)(-10) = 39 - 9 + 40 = 70
|AC| = sqrt(3^2 + 1^2 + (-4)^2) = sqrt(9 + 1 + 16) = sqrt(26)
|N| = sqrt(13^2 + (-9)^2 + (-10)^2) = sqrt(169 + 81 + 100 ) = sqrt(350)

cos(угол) = (70)/(sqrt(26)*sqrt(350)) ≈ 0.642
угол ≈ arccos(0.642) ≈ 49.11°

Итак, уравнение высоты пирамиды опущенной из вершины A на плоскость BCD: (x-2)/13 = (y+1)/-9 = (z+2)/-10, длина высоты около 11.47, а угол между стороной AC и плоскостью BCD примерно 49.11°.