Найти предел числовой последовательности при n к бесконечности n^3[корень 3 степени из(n^2(n^6+2))-корень 3 степени из(n^8-1)]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения предела данной числовой последовательности при n стремящемся к бесконечности, мы можем разделить выражение настолько, насколько это возможно, чтобы упростить его.

Рассмотрим выражение под корнем:

(n^6 + 2) = n^6(1 + 2/n^6) = n^6(1 + 2/n^6) = n^6 + 2

(n^8 - 1) = (n^4 + 1)(n^4 - 1) = (n^4 + 1)(n^2 + 1)(n^2 - 1) = (n^4 + 1)(n^2 + 1)(n+1)(n-1) = n^8 + n^6 + n^4 + n^2 + 1

Теперь выражение становится:

lim(n->∞) n^3[(n^6 + 2)^(1/3) - (n^8 - 1)^(1/3)] = lim(n->∞) n^3[(n^6 + 2)^(1/3) - (n^8 - 1)^(1/3)]
= lim(n->∞) n^3[(n^6 + 2)^(1/3) - (n^8 - 1)^(1/3)] /[(n^6 + 2)^(1/3) + (n^8 - 1)^(1/3)] [(n^6 + 2)^(2/3) + (n^6 + 2)^(1/3) (n^8 - 1)^(1/3) + (n^6 + 2)^(2/3)]

Теперь, мы используем формулу (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3, где в данном случае a = (n^6 + 2)^(1/3) и b = (n^8 - 1)^(1/3):

lim(n->∞) n^3{(n^6 + 2) - (n^8 - 1)} / {(n^6 + 2)^(2/3) + (n^6 + 2)^(1/3)(n^8 - 1)^(1/3) + (n^8 - 1)^(2/3)}

Упростим дальше:

lim(n->∞) n^3 * (n^6 + 3) / [(n^6 + 2)^(2/3) + (n^6 + 2)^(1/3)(n^8 - 1)^(1/3) + (n^8 - 1)^(2/3)]
= lim(n->∞) (n^9 + 3n^3) / [(n^6 + 2)^(2/3) + (n^6 + 2)^(1/3)(n^8 - 1)^(1/3) + (n^8 - 1)^(2/3)]

Теперь проведем дальнейшие упрощения или используем другие методы, чтобы найти окончательный ответ.