Вычислить интеграл, преобразуя подынтегральную функцию

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Интеграл заданного вами выражения можно вычислить, используя замену переменной.

Пусть подынтегральная функция равна 1/(1+x^2). Для нахождения интеграла, проведем замену переменных: x = tan(t).

dx = dt / cos^2(t)

Подставляем полученные значения:

∫(1/(1+x^2))dx = ∫(1/(1+tan^2(t))) dt / cos^2(t)
= ∫(1/(1+tan^2(t))) 1 / cos^2(t) dt
= ∫(1/cos^2(t)) dt
= ∫sec^2(t) dt

Интеграл от sec^2(t) равен tan(t) + C, где C - произвольная постоянная.

Подставляем обратно нашу замену переменных x = tan(t):

= tan(t) + C
= tan(arctan(x)) + C
= x + C

Таким образом, интеграл от 1/(1+x^2) равен x + C.