Докажите, что на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в узлах сетки не может иметь площадь, которая в единицах измерения площади, равных площади одной клетки, записывается в виде несократимой дроби со знаменателем 4.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что любой треугольник на клетчатой бумаге с вершинами в узлах сетки будет иметь такие координаты вершин, что хотя бы одна из его сторон будет параллельна осям координат.

Теперь предположим, что у нас есть треугольник с площадью, равной площади одной клетки и дробью $\frac{1}{4}$. Пусть одна сторона этого треугольника основана на одной из сторон клетки, тогда другая сторона будет расположена под углом 45 градусов к оси координат.

Отразим этот треугольник относительно его гипотенузы, тогда получим треугольник, площадь которого также будет равна площади одной клетки. Посмотрим на изображение, исходный треугольник будет равен трём таким треугольникам. Теперь заметим, что получившийся треугольник состоит из 8 равных треугольников, а значит площадь построенного треугольника равна 2 площадям исходного.

Из этих рассуждений следует, что треугольник с площадью равной площади одной клетки и дробью $\frac{1}{4}$ на клетчатой бумаге не может быть построен.