В основе прямой призмы лежит треугольник с углами и и радиусом вписанной окружности. В основе прямой призмы лежит треугольник с углами и и радиусом вписанной окружности. Диагональ грани, содержащей общую для данных углов сторону треугольника, образует с плоскостью основания призмы угол. Определить площадь боковой поверхности этой призмы.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть треугольник ABC — основание призмы, где A, B и C — вершины треугольника, α — угол, лежащий при вершине A, и R — радиус вписанной окружности этого треугольника.

Так как плоскость грани призмы, содержащей сторону AB треугольника ABC, перпендикулярна этой стороне, то угол, образуемый диагональю этой грани и плоскостью основания, равен углу BAC. Таким образом, угол между боковой гранью и плоскостью основания равен α.

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту. Периметр основания равен а+b+c, где a, b и c — стороны треугольника ABC. Высоту призмы обозначим h.

Так как радиус вписанной окружности равен htg(α/2), для угла в радианах угол ( \alpha ) равен 2 arcsin(r/(\sqrt{a*b}) ), где a и b — стороны треугольника ABC.

Следовательно, площадь боковой поверхности призмы равна: ( (a+b+c) 2r/(\sqrt{ab}) )