Вычислить значение остальных тригонометрических функций, если: Sin a=1/2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Известно, что $\sin{a} = \frac{1}{2}$.

Используя тригонометрическую тождества $\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1$, можно найти значение $\cos{a}$:

$$\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1$$
$$(\frac{1}{2})^2 + \cos^2{a} = 1$$
$$\frac{1}{4} + \cos^2{a} = 1$$
$$\cos^2{a} = \frac{3}{4}$$
$$\cos{a} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Так как синус положительный и катет и гипотенуза положительны, а косинус соответственно при поворотах против часовой стрелки между $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$, а также между $\frac{3\pi}{2}$ и $2\pi$.

Таким образом получаем:
$$\cos{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ при } a = \frac{\pi}{3} \text{ или } a = \frac{5\pi}{3}$$
$$\cos{a} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \text{ при } a = \frac{2\pi}{3} \text{ или } a = \frac{4\pi}{3}$$

Теперь можно найти значения остальных тригонометрических функций:

$$\tan{a} = \frac{\sin{a}}{\cos{a}}$$
$$\cot{a} = \frac{1}{\tan{a}} = \frac{1}{\frac{\sin{a}}{\cos{a}}} = \frac{\cos{a}}{\sin{a}} = \frac{\cos{a}}{1}$$
$$\sec{a} = \frac{1}{\cos{a}}$$
$$\csc{a} = \frac{1}{\sin{a}}$$

Таким образом, значения остальных тригонометрических функций будут:

$\tan{a}$ при $a = \frac{\pi}{3}$ или $a = \frac{4\pi}{3}$: $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ или $\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$\cot{a}$ при $a = \frac{\pi}{3}$ или $a = \frac{4\pi}{3}$: $\frac{\cos{a}}{\sin{a}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$ или $\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$\sec{a}$ при $a = \frac{\pi}{3}$ или $a = \frac{4\pi}{3}$: $\frac{1}{\cos{a}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ или $\frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$$\csc{a}$ при $a = \frac{\pi}{3}$ или $a = \frac{4\pi}{3}$: $\frac{1}{\sin{a}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ или $\frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$