Геометрия, векторы и координаты Найдите длину проекции вектора a⃗ =(4,2,−1) на прямую, проходящую через точки A(0,3,1) и B(2,4,−1).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем направляющий вектор прямой, проходящей через точки A(0,3,1) и B(2,4,-1).

Направляющий вектор будет равен разности координат этих двух точек:
AB = B - A = (2 - 0, 4 - 3, -1 - 1) = (2, 1, -2).

Теперь найдем проекцию вектора a на направляющий вектор прямой. Проекция вектора a на вектор b равна:
proj_b(a) = (a b) / |b|,
где a b - скалярное произведение векторов a и b,
|b| - длина вектора b.

Сначала вычислим скалярное произведение a и b:
a b = 42 + 2*1 + (-1)(-2) = 8 + 2 + 2 = 12.

Теперь найдем длину вектора b:
|b| = √(2^2 + 1^2 + (-2)^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.

Теперь найдем проекцию вектора a на вектор b:
proj_b(a) = 12 / 3 = 4.

Таким образом, длина проекции вектора a на прямую, проходящую через точки A(0,3,1) и B(2,4,-1), составляет 4.