Докажите тождество: (ctg t - tg t) sin 2t = 2 cos 2t

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используем следующие тригонометрические тождества:

tg t = sin t / cos t
ctg t = cos t / sin t

sin 2t = 2sin t cos t
cos 2t = cos^2 t - sin^2 t = 2cos^2 t - 1 = 1 - 2sin^2 t

Тогда левая часть равенства примет вид:
(ctg t - tg t) sin 2t = (cos t / sin t - sin t / cos t) 2sin t cos t =
= (cos^2 t - sin^2 t) 2sin t cos t = (1 - 2sin^2 t) * 2sin t cos t
= 2sin t cos t - 4sin^3 t cos t

А правая часть:
2cos 2t = 2(1 - 2sin^2 t) = 2 - 4sin^2 t

Теперь сравниваем обе части равенства:
2sin t cos t - 4sin^3 t cos t = 2 - 4sin^2 t

Упростим выражение:
2sin t cos t (1 - 2sin^2 t) = 2 - 4sin^2 t
2sin t cos t cos 2t = 2 - 4sin^2 t

Таким образом, доказано тождество:
(ctg t - tg t) sin 2t = 2 cos 2t