Используем следующие тригонометрические тождества:
tg t = sin t / cos t ctg t = cos t / sin t
sin 2t = 2sin t cos t cos 2t = cos^2 t - sin^2 t = 2cos^2 t - 1 = 1 - 2sin^2 t
Тогда левая часть равенства примет вид: (ctg t - tg t) sin 2t = (cos t / sin t - sin t / cos t) 2sin t cos t = = (cos^2 t - sin^2 t) 2sin t cos t = (1 - 2sin^2 t) * 2sin t cos t = 2sin t cos t - 4sin^3 t cos t
А правая часть: 2cos 2t = 2(1 - 2sin^2 t) = 2 - 4sin^2 t
Теперь сравниваем обе части равенства: 2sin t cos t - 4sin^3 t cos t = 2 - 4sin^2 t
Упростим выражение: 2sin t cos t (1 - 2sin^2 t) = 2 - 4sin^2 t 2sin t cos t cos 2t = 2 - 4sin^2 t
Таким образом, доказано тождество: (ctg t - tg t) sin 2t = 2 cos 2t
Используем следующие тригонометрические тождества:
tg t = sin t / cos t
ctg t = cos t / sin t
sin 2t = 2sin t cos t
cos 2t = cos^2 t - sin^2 t = 2cos^2 t - 1 = 1 - 2sin^2 t
Тогда левая часть равенства примет вид:
(ctg t - tg t) sin 2t = (cos t / sin t - sin t / cos t) 2sin t cos t =
= (cos^2 t - sin^2 t) 2sin t cos t = (1 - 2sin^2 t) * 2sin t cos t
= 2sin t cos t - 4sin^3 t cos t
А правая часть:
2cos 2t = 2(1 - 2sin^2 t) = 2 - 4sin^2 t
Теперь сравниваем обе части равенства:
2sin t cos t - 4sin^3 t cos t = 2 - 4sin^2 t
Упростим выражение:
2sin t cos t (1 - 2sin^2 t) = 2 - 4sin^2 t
2sin t cos t cos 2t = 2 - 4sin^2 t
Таким образом, доказано тождество:
(ctg t - tg t) sin 2t = 2 cos 2t