Докажите, что для любого х справедливо неравенство cos (7 +х) sin х< sin (7 +х) cos х

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного неравенства рассмотрим функцию f(x) = sin(7+x)cos(x) - cos(7+x)sin(x).

Найдем производную этой функции:
f'(x) = (7+x)cos(x) - sin(7+x)sin(x) - (7+x)sin(x) + cos(7+x)cos(x)
= cos(7+x)cos(x) - sin(7+x)sin(x) - sin(7+x)sin(x) + cos(7+x)cos(x)
= cos(7+x)cos(x) - 2sin(7+x)sin(x) + cos(7+x)cos(x)
= 2cos(7+x)cos(x) - 2sin(7+x)sin(x) = 2(cos(7+x)cos(x) - sin(7+x)sin(x))

Таким образом, f'(x) = 2f(x).

Это означает, что функция f(x) увеличивается на всей области определения (поскольку 2>0).

Теперь заметим, что f(0) = sin7cos0 - cos7sin0 = sin70 - cos70 = 0.

Поскольку f(x) увеличивается на всем интервале, где определена, а при этом f(0) = 0, значит f(x) < 0 для всех x.

Исходное неравенство cos (7 +x) sin x < sin (7 +x) cos x следовательно верно для всех x.