Дана функция y = 3x^2+x^3, найдите:
а) промежутки возрастания и убывания функции
б) точки экстремума

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции нужно найти производную функции и решить неравенство:

y = 3x^2 + x^3
y' = 6x + 3x^2

Точки, где производная равна нулю, являются кандидатами на экстремумы:
6x + 3x^2 = 0
3x(2 + x) = 0

Отсюда получаем x = 0 и x = -2.

Делаем знаки производной на интервалах (-∞, -2), (-2, 0), (0, +∞):

Подставим x = -3: y' = 6(-3) + 3(-3)^2 = -18 + 27 = 9 > 0
Подставим x = -1: y' = 6(-1) + 3(-1)^2 = -6 + 3 = -3 < 0
Подставим x = 1: y' = 6(1) + 3(1)^2 = 6 + 3 = 9 > 0

Следовательно, функция возрастает на промежутке (-∞, -2) и (0, +∞), и убывает на промежутке (-2, 0).

б) Точки экстремума функции - это точки, где производная равна нулю или не существует. Мы уже нашли точки x = 0 и x = -2, где производная равна нулю.

Для точки x = 0 вычисляем значение функции: y(0) = 30^2 + 0^3 = 0.
Для точки x = -2 вычисляем значение функции: y(-2) = 3(-2)^2 + (-2)^3 = 12 - 8 = 4.

Итак, точка экстремума x = -2, y = 4.