Сколько решений в целых числах имеет уравнение (x2−y2)2=1+20x?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решений бесконечно много.

Рассмотрим уравнение:
(x^2 - y^2)^2 = 1 + 20x

Разложим левую часть уравнения по формуле квадрата разности:
(x^2 - y^2)^2 = (x - y)(x + y)(x - y)(x + y) = (x^2 - y^2)(x^2 - y^2) = x^4 - 2x^2y^2 + y^4

Подставим это выражение в исходное уравнение:
x^4 - 2x^2y^2 + y^4 = 1 + 20x

Получаем уравнение вида:
x^4 - 2x^2y^2 - 20x + y^4 - 1 = 0

Заметим, что уравнение симметрично относительно переменных x и y, поэтому если пара (x, y) является решением, то также будет решением и пара (-x, -y). Таким образом, у уравнения бесконечно много решений в целых числах.