КОМБИНАТОРИКА про шахматистов Четырнадцать шахматистов договорились сыграть несколько партий так, чтобы любые два шахматиста играли друг с другом не более одного раза. К некоторому моменту было сыграно 66 партий, причём каждый шахматист сыграл чётное количество партий, а один всё это время был болен, наконец-то поправился и теперь смог принять участие в турнире. Сколькими способами можно провести ещё несколько партий так, чтобы каждый шахматист сыграл нечётное число партий? Способы, отличающиеся только порядком сыгранных партий, считаются одинаковыми.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся следующими шагами:

Имеем 14 шахматистов.Первоначально было сыграно 66 партий, т.е. каждый шахматист сыграл 66 - 1 = 65 партий.Всего в турнире должно быть сыграно (14 * 13) / 2 = 91 партий.Таким образом, осталось провести еще 91 - 66 = 25 партий.Для каждого шахматиста, сыгравшего четное количество партий, необходимо провести нечетное количество партий. Таких шахматистов у нас 13 (т.к. один был болен).Пронумеруем шахматистов от 1 до 14.Определим количество шахматистов, сыгравших четное количество партий, и количество оставшихся партий, учитывая, что в задаче все зависит только от нечетности количества партий, а не от их номеров.После проведения всех партий каждый шахматист должен сыграть с каждым ровно одну партию.Посчитаем, сколько способов провести 25 партий шахматистам, сыгравшим четное количество партий.Имеем 13 шахматистов, сыгравших 65 партий (четно), и 25 оставшихся партий.Количество способов провести 25 партий 13 шахматистам равно количеству способов разместить 25 неотличимых объектов (партии) по 13 ячейкам (шахматистам), что равно ${25+13-1}\choose{13-1}$ = ${37}\choose{12}$.Следовательно, количество способов, которыми можно провести еще несколько партий так, чтобы каждый шахматист сыграл нечетное число партий, равно ${37}\choose{12}$.

Итак, ответ: ${37}\choose{12}$.