Докажите, что для произвольных вещественных чисел a,b,c,d,e выполняется неравенство a^2+b^2+c^2+d^2+e^2>=a(b+c+d+e)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное неравенство.

Имеем неравенство Коши-Буняковского:
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2)(1 + 1 + 1 + 1 + 1) ≥ (a + b + c + d + e)^2.

Упрощаем его:
5(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2) ≥ (a + b + c + d + e)^2.

Раскрываем скобки в правой части:
5(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2) ≥ a^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2ae + b^2 + 2bc + 2bd + 2be + c^2 + 2cd + 2ce + d^2 + 2de + e^2.

Переносим все слагаемые в левую часть:
5a^2 + 5b^2 + 5c^2 + 5d^2 + 5e^2 ≥ a^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2ae + b^2 + 2bc + 2bd + 2be + c^2 + 2cd + 2ce + d^2 + 2de + e^2.

Упрощаем:
4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 4d^2 + 4e^2 ≥ 2ab + 2ac + 2ad + 2ae + 2bc + 2bd + 2be + 2cd + 2ce + 2de.

Получаем:
2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2) ≥ 2(a(b + c + d + e) + b(c + d + e) + c(d + e) + de).

Делим обе части на 2:
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ≥ a(b + c + d + e) + b(c + d + e) + c(d + e) + de.

Таким образом, мы доказали, что a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ≥ a(b + c + d + e), что и требовалось доказать.