Найдите значения а и b, при которых равенство 5х+31/(х-5)(х+2)=а/х-5+b/х+2 выполняется при всех допустимых значениях х.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала умножим обе части уравнения на (x-5)(x+2), чтобы избавиться от знаменателей:

5x(x-5)(x+2) + 31 = a(x+2) + b(x-5).

Раскроем скобки:

5x(x^2 - 3x - 10) + 31 = ax + 2a + bx - 5b.

Упростим:

5x^3 - 15x^2 - 50x + 31 = (a + b)x + 2a - 5b.

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

5 = a + b,
-15 = 0,
-50 = 0,
31 = 2a - 5b.

Из первого уравнения находим a+b = 5, следовательно a = 5 - b.

Подставляем значение a в третье уравнение:

31 = 2(5 - b) - 5b,
31 = 10 - 2b - 5b,
31 = 10 - 7b,
21 = -7b,
b = -3.

Теперь находим значение a:

a = 5 - b = 5 - (-3) = 8.

Итак, значения a = 8 и b = -3, при которых равенство выполнится при всех допустимых значениях x.