Докажите выражение cos10 sin20 cos70 sin80 = cos²10 sin²20 докажите выражение cos10 sin20 cos70 sin80 = cos²10 sin²20

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала перепишем левую часть равенства:

cos(10) sin(20) cos(70) * sin(80)

Применим формулу косинуса суммы двух углов: cos(a + b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b).

cos(10) = cos(20 - 10) = cos(20) cos(10) - sin(20) sin(10)

Применим эту формулу для углов 20 и 10:

cos(10) = cos(20) cos(10) - sin(20) sin(10)

cos(20) = cos(80 - 60) = cos(80) cos(60) - sin(80) sin(60)

Применим эту формулу для углов 80 и 60:

cos(20) = cos(80) cos(60) - sin(80) sin(60)

Подставим найденные значения обратно в исходное выражение:

cos(10) sin(20) cos(70) sin(80) = (cos(20) cos(10) - sin(20) sin(10)) cos(70) (cos(80) cos(60) - sin(80) * sin(60))

Проведем умножение и упростим:

cos(10) sin(20) cos(70) sin(80) = cos(20) cos(10) cos(70) cos(80) cos(60) - sin(20) sin(10) cos(70) cos(80) cos(60) - cos(20) cos(10) sin(70) sin(80) sin(60) + sin(20) sin(10) sin(70) sin(80) * sin(60)

Теперь замечаем, что последние два члена равны нулю. Учитывая, что cos(70) = sin(20), cos(60) = sin(30) и cos(80) = sin(10), получаем:

cos(10) sin(20) cos(70) sin(80) = cos(20) cos(10) sin(20) sin(10) - sin(20) sin(10) sin(20) sin(10) = cos²(10) sin²(20)

Таким образом, доказано исходное равенство cos(10) sin(20) cos(70) sin(80) = cos²(10) sin²(20).