Доказать тождество sin4+sin2cos2+cos2=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для этого воспользуемся формулой синуса удвоенного угла:

sin2x = 2sinxcosx

sin4 = (sin2)² = (2sin1cos1)² = 4sin²cos²

sin2cos2 = sin2 * sin2 = (2sin1cos1)(2sin1cos1) = 4sincosincos

cos2 = cos² - sin² = cos² - (1 - cos²) = 2cos² - 1

Теперь подставим это в начальное уравнение:

4sin²cos² + 4sincosincos + 2cos² - 1 = 1

4sin²cos² + 4sin²cos² + 2cos² - 1 = 1

8sin²cos² + 2cos² - 1 = 1

8sin²cos² + 2cos² = 2

2cos²(4sin² + 1) = 2

cos²(4sin² + 1) = 1

Это верное тождество, так как sin² + cos² = 1. Таким образом, доказано исходное равенство sin4+sin2cos2+cos2=1.