Даны 100 чисел. Когда каждое из них увеличили на 1, сумма их квад-ратов не изменилась. Каждое число ещё раз увеличили на 1. Изме-нится ли сумма квадратов на этот раз, и если да, то на сколько?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть числа a_1, a_2, ..., a_100 - изначальные числа.
Тогда из условия:

a_1^2 + a_2^2 + ... + a_100^2 = (a_1 + 1)^2 + (a_2 + 1)^2 + ... + (a_100 + 1)^2

Раскроем скобки:

a_1^2 + a_2^2 + ... + a_100^2 = a_1^2 + 2a_1 + 1 + a_2^2 + 2a_2 + 1 + ... + a_100^2 + 2a_100 + 1

Сократим подобные слагаемые:

2(a_1 + a_2 + ... + a_100) = 2(1 + 1 + ... + 1)

Таким образом, сумма квадратов не изменилась при увеличении каждого числа на 1.

Если еще раз увеличить каждое число на 1, то сумма квадратов увеличится на 2(a_1 + a_2 + ... + a_100 + 100), так как будут добавлены 2a_i + 1 к каждому из чисел.