Параллелограмм двумя пересекающимися прямыми разделили на 4 четырехугольника. Известно, что вокруг одного из них можно описать окружность. Докажите, что вокруг каждого из оставшихся четырехугольников также можно описать окружность.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим вершины параллелограмма как A, B, C, D (AB || CD, BC || DA).

Пусть P — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда треугольники APB и CPD подобны, так как у них соответственные углы равны (из параллельности сторон).

Также заметим, что углы APC и BPD дополнительны (из параллельности сторон).

Таким образом, докажем, что четырехугольник PBCD описывается окружностью.

∠PCB = ∠PAB (по подобию треугольников)

∠PDC = ∠PBA

∠PCD = ∠PBD

Отсюда следует, что ∠PCD = ∠PBD = ∠BAD

Таким образом, четырехугольник PBCD описывается окружностью.

Аналогично рассмотрим четырехугольники PACD и PABD. Так как в них также соблюдаются все условия, то они также описываются окружностью.

Итак, вокруг каждого из оставшихся четырехугольников параллелограмма можно описать окружность.