1.Решите уравнение у'' + 8у' + 16у = 0 2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 3 – х, у = 2х + 6, у = 0. Решите уравнение у'' + 8у' + 16у = 0
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 3 – х, у = 2х + 6, у = 0.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения второго порядка y'' + 8y' + 16y = 0 будет иметь вид λ^2 + 8λ + 16 = 0. Решим его квадратным уравнением:

D = 8^2 - 4116 = 64 - 64 = 0

λ = -8 / 2 = -4

Таким образом, характеристическое уравнение имеет один корень λ = -4, значит общее решение уравнения будет иметь вид:

y(t) = C1 e^(-4t) + C2 t * e^(-4t)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = 3 - x, y = 2x + 6, y = 0, необходимо сначала определить точки пересечения этих линий. Подставим y = 0 в уравнения y = 3 - x и y = 2x + 6:

1) 0 = 3 - x => x = 3
2) 0 = 2x + 6 => x = -3

Точки пересечения линий: (3, 0) и (-3, 0).

Построим график и найдем площадь фигуры, ограниченной этими линиями. Площадь можно найти с помощью определенного интеграла:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx,

где f(x) и g(x) - уравнения функций, определяющих фигуру, а [a,b] - интервал, на котором эти функции определены.

S = ∫[-3,3] ((3 - x) - (2x + 6)) dx = ∫[-3,3] (5 - 3x) dx = 5x - (3/2)x^2 |[-3,3] = 53 - (3/2)3^2 - (5(-3) - (3/2)(-3)^2) = 15 - 13.5 - (-15 - 13.5) = 1 + 27 = 28.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3 - x, y = 2x + 6, y = 0, равна 28.