Даны четыре точки в пространстве. Составить уравнения прямых и плоскостей даны четыре точки A1(9,5,5),A2(-3,7,1),A3(5,7,8),A4(6,9,2). Составить уравнения:
а) Плоскости А1А2А3
б) Прямой А1А2
в) Прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3
г) Прямой А3N, параллельной прямой А1А2
д) Плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2
е) Синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3
ж) косинус угла между координатной плоскостью Оxy и плоскостью А1А2А3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Уравнение плоскости А1А2А3:
[ (x-9)(7-5)(8-5) + (y-5)(-3-9)(8-5) + (z-5)(-3-7)(7-5) = 0 ]
[ 2x + 2y + z - 36 = 0 ]

б) Уравнение прямой А1А2:
[ x = 9 - 12t ]
[ y = 5 + 2t ]
[ z = 5 - 4t ]

в) Уравнение прямой А4М:
Поскольку прямая перпендикулярна к плоскости, то ее направляющий вектор должен быть нормальным к плоскости. В плоскости А1А2А3 таким вектором является векторное произведение двух векторов: А1А2 и А1А3. Получаем вектор нормали:
[ \overrightarrow{N} = \overrightarrow{A1A2} \times \overrightarrow{A1A3} = (-12, 2, -4) \times (-4, 2, 3) = (-2, 68, 56) ]

Уравнение прямой:
[ x = 6 - 2t ]
[ y = 9 + 68t ]
[ z = 2 + 56t ]

г) Уравнение прямой А3N:
Поскольку прямая параллельна прямой А1А2, ее направляющий вектор должен совпадать с направляющим вектором прямой А1А2:
[ x = 5 - 7t ]
[ y = 7 + 2t ]
[ z = 8 + 4t ]

д) Уравнение плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2:
Вектор нормали к плоскости совпадает с направляющим вектором прямой А1А2:
[ (x-6, y-9, z-2) \cdot (12, 2, 4) = 0 ]
[ 12x + 2y + 4z - 112 = 0 ]

е) Синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3:
Сначала найдем направляющий вектор прямой А1А4: (6-9, 9-5, 2-5) = (-3, 4, -3).
Затем найдем вектор нормали к плоскости: (2, 2, 1).
Синус угла между прямой и плоскостью определяется как модуль скалярного произведения векторов, деленный на их длины:
[ \sin \theta = \frac{|(-3, 4, -3) \cdot (2, 2, 1)|}{|\langle-3, 4, -3\rangle| \cdot |\langle2, 2, 1\rangle|} ]

ж) Косинус угла между координатной плоскостью Оxy и плоскостью А1А2А3:
Плоскость А1А2А3 проходит через начало координат, следовательно, ее нормаль совпадает с нормалью координатной плоскости Оxy, которая имеет координаты (0, 0, 1).
Косинус угла между плоскостями равен косинусу угла между их нормалями:
[ \cos \theta = \frac{(2, 2, 1) \cdot (0, 0, 1)}{|\langle2, 2, 1\rangle| \cdot |\langle0, 0, 1\rangle|} ]