Для начала преобразуем левую часть данного тождества:

1 - cos(t) / 1 + cos(t) = (1 - cos(t)) / (1 + cos(t))
= (1 - cos(t)) * (1 - cos(t)) / (1 - cos(t)^2)
= (1 - 2cos(t) + cos(t)^2) / sin(t)^2, так как 1 - cos(t)^2 = sin(t)^2 (по тригонометрическому тождеству)

Теперь выразим cos(t)^2 через tg(t):

cos(t)^2 = (1 - tg(t)^2) / (1 + tg(t)^2) (по тригонометрическим формулам)

Подставим это выражение в числитель дроби выше:

(1 - 2cos(t) + cos(t)^2) / sin(t)^2 = (1 - 2cos(t) + (1 - tg(t)^2) / (1 + tg(t)^2)) / sin(t)^2
= (2 - 2cos(t) - tg(t)^2 / 1 + tg(t)^2) / sin(t)^2
= (2 - 2cos(t) - tg(t)^2) / sin(t)^2 (поскольку 1+tg(t)^2=1/cos(t)^2=1/(1-sin(t)^2)=1/cos(t)^2)

Остаётся доказать, что это равно tg(t)^2 / 2:

Преобразуем tg(t)^2 / 2:

tg(t)^2 / 2 = ((sin(t) / cos(t))^2) / 2
= (sin(t)^2 / cos(t)^2) / 2
= sin(t)^2 / (2 (1 - sin(t)^2))
= sin(t)^2 / 2 / (1 - sin(t)^2)
= (2(sin(t)^2)^(1/2)) / (2(1 - sin(t)^2)^(1/2))
= (2 sin(t)) / (2 * cos(t))
= tg(t)

Таким образом, левая часть равна правой, что и требовалось доказать.